Скінченні елементи біквадратичної інтерполяції: стандарти та альтернативи - Хомченко, А. Н.; Варшамов, А. В.; Khomchenko, Anatolii N.; Varshamov, Armen V. (My University, 2020)
Анотація. Робота присвячується скінченним елементам (СЕ) біквадратичної інтерполяції, які разом із трикутними СЕ вважаються найбільш популярними у прикладних задачах. Мова йде про ізопараметричні елементи, відомі як елементи серендипового класу. Головний недолік стандартних серендипових елементів, на думку прихильників механічних аналогій, полягає у фізичній неадекватності еквівалентних вузлових «навантажень» від рівномірної масової сили. Це явище «гравітаційного відштовхування» інколи називають парадоксом Зенкевича, який вперше у 1971 р. звернув увагу на протиприродний спектр еквівалентних вузлових сил і жорстко критикував цей феномен. Треба зазначити, що сам Зенкевич як співавтор відкриття стандартних серендипових СЕ вважав, що цей недолік усунути неможливо, і радив змиритися з ним. Ми спробуємо реабілітувати стандартні ізопараметричні СЕ шляхом іншої інтерпретації інтегральних характеристик функцій впливу вузлів СЕ. Крім того, ми вкажемо на причини виникнення від’ємних вузлових навантажень та запропонуємо спосіб конструювання альтернативних базисів, які вільні від цього недоліка. Цікаво, що конструктивна теорія серендипових апроксимацій дає змогу генерувати в необмеженій кількості математично обґрунтовані і фізично адекватні альтернативні моделі. Мета роботи – конструктивно довести факт існування альтенативних моделей серендипових скінченних елементів біквадратичної інтерполяції. Приклад скінченного елемента другого порядку Q8 ілюструє змогу обирати спектр еквівалентних вузлових навантажень на замовлення користувача. При цьому забезпечується математична обґрунтованість моделей (у рамках інтерполяційної гіпотези Лагранжа) та їх фізична адекватність. Методика побудови нових базисних функцій (функцій впливу) використовує нематричну процедуру статичної конденсації (редукції). На відміну від стандартної процедури («рецепт» Джордана, 1970) нова процедура генерує множину нових працездатних моделей скінченних елементів. Наявність невузлового параметру дає змогу керувати формоутворенням серендипових поверхонь. Оптимізація локальних та інтегральних характеристик моделі відбувається саме шляхом зміни рельєфу поверхні функції форми. В цьому полягає наукова новизна отриманих результатів. Новий підхід зберігає міжелементну неперервність. Це означає, що на практиці можна без небажаних наслідків ансамблювати стандартні та альтернативні моделі. Нові скінченні елементи суттєво поповнюють модельний ряд елементів бікваратичної інтерполяції. Практична значення полягає у змозі експериментувати з метою покращення інтерполяційних властивостей та обчислювальних якостей моделі. Дослідження важливе для оновлення модельного ряду скінченних елементів у пакетах прикладних програм.
Хомченко, А. Н. Скінченні елементи біквадратичної інтерполяції: стандарти та альтернативи = Final elements of bikvadratic interpolation: standards and alternatives / А. Н. Хомченко, А. В. Варшамов // Зб. наук. пр. НУК. – Миколаїв : НУК, 2020. – № 1 (479). – С. 97–102.
Keywords: метод скінченних елементів; серендипові елементи; фізична неадекватність спектра вузлових навантажень; нематрична процедура конденсації; finite element method; serendipity elements; physical inadequacy of the node load spectrum; non-matrix condensation procedure