Кафедра інформаційних технологій та фізико-математичних дисциплін (ІТтаФМД)
Постійне посилання на фонд
Переглянути
Перегляд Кафедра інформаційних технологій та фізико-математичних дисциплін (ІТтаФМД) за Автор "Astionenko, I. O."
Зараз показуємо 1 - 7 з 7
Результатів на сторінці
Налаштування сортування
Документ «Дута» мода як когнітивна модель побудови трикутника третього порядку(2019) Хомченко, А. Н.; Литвиненко, О. І.; Астіоненко, І. О.; Khomchenko, А. N.; Lytvynenko, O. I.; Astionenko, I. O.; Хомченко, А. Н.; Литвиненко, Е. И.; Астионенко, И. А.Трикутники відіграють надзвичайно важливу роль в методі скінченних елементів (МСЕ). Робота присвячена дослідженню маловідомих властивостей «дутої» моди – внутрішньої функції десятипараметричного базису поліноміальної інтерполяції трикутного скінченного елемента. «Дуті» моди це моди, які мають відмінні від нуля амплітуди всередині елемента і амплітуди, що дорівнюють нулю на його сторонах. У методі скінченних елементів внутрішні вузли є небажаними, тому їх виключають разом із відповідними функціями форми. Перший метод виключення наведений у монографії Р. Галлагера і полягає у процедурі конденсації стосовно матриці жорсткості елемента. Другий метод – це безпосередня модифікація функцій форми таким чином, щоб виключити степені вільності, пов’язані з внутрішніми вузлами. Е. Мітчелл наводить приклади виключення внутрішніх вузлів на комплексах і мультиплексах. На трикутному елементі третього порядку десятий вузол в барицентрі усувають, як правило, за «рецептом» Сьярле-Равьяра. В результаті конденсації (редукції) «дута» мода лишається поза увагою дослідників і не використовується в практичних розрахунках. Ми розглядаємо «дуту» моду як самостійну математичну модель і шляхом когнітивно-графічного аналізу виявляємо маловідомі особливості формоутворення поверхні і корисні аналогії. Доведено існування зв’язків «дутої» моди з поліномами Ерміта-Кунса, квадратурами Гаусса (версія Бернуллі та версія Лежандра), задачею Прандтля про кручення призматичних стержнів. У даній роботі внутрішня мода трикутного скінченного елемента третього порядку, як і решта функцій базису, вперше використовувалась для реалізації поліноміальної інтерполяції функцій двох аргументів в умовах гіпотези Лагранжа. Когнітивно-графічний аналіз поверхні «дутої» моди дозволив більш глибоко проаналізувати всі властивості цієї моделі і відкрив потенціал для створення нових базисів і оптимізації існуючих. Ми маємо чергове підтвердження відомого факту: математика завжди дає більше, ніж від неї очікують. Немає сумніву, що «дута» мода – це яскравий приклад когнітивної моделі.Документ Ймовірнісні моделі у неймовірнісних задачах(2019) Хомченко, А. Н.; Литвиненко, О. І.; Астіоненко, І. О.; Хомченко, А. Н.; Литвиненко, Е. И.; Астионенко, И. А.; Khomchenko, А. N.; Litvinenko, О. I.; Astionenko, I. O.У теорії ймовірностей широко використовуються різноманітні математичні методи. Прикладів проникнення теорії ймовірностей в інші розділи математики небагато, вона неначе відокремлена від іншої математики напівнепроникною плівкою. Яскравим прикладом лишається метод Монте-Карло, який суттєво збагатив сучасну обчислювальну математику і проілюстрував тісний зв’язок між статистичною та геометричною ймовірностями. З 1982 року триває досить успішне використання конструктивних можливостей геометричної ймовірності в задачах лагранжевої та ермітової інтерполяції функцій, зокрема, фінітних функцій метода скінченних елементів. Пошуки прикладів проникнення теорії ймовірностей у класичні розділи вищої та прикладної математики є досить цікавою задачею. Результати таких пошуків наведені в даній роботі. Стаття ілюструє нетрадиційний підхід до розв’язання класичних задач аналітичної геометрії. Природним узагальненням і розширенням поняття класичної ймовірності на нескінченну множину точок є геометрична ймовірність, що обчислюється як відношення мір (довжин, площ, об’ємів) в одно-, дво - і тривимірних випадках. Ймовірність влучити в будь-яку частину області пропорційна мірі цієї частини (довжині, площі, об’єму) і не залежить від її розташування і форми. Наведено приклади використання геометричної ймовірності у якості засобу побудови рівнянь прямої на площині і у просторі, а також рівнянь площини. На основі ймовірнісної інтерпретації сконструйовано наступні моделі: рівняння прямої, що проходить через дві точки на площині і у просторі, рівняння прямої у відрізках, нормальне рівняння прямої, рівняння площини у відрізках, нормальне рівняння площини. Варто зауважити, що ймовірнісна інтерпретація здатна створити особливі умови для виникнення інших розділів математики. Дидактичними перевагами методу ймовірнісних інтерпретацій є наочність, зрозумілість, стислість та зручність.Документ Коноїди Ерміта-Кунса та їх властивості(2018) Хомченко, А. Н.; Литвиненко, О. І.; Астіоненко, І. О.; Khomchenko, А. N.; Litvinenko, О. I.; Astionenko, I. O.; Хомченко, А. Н.; Литвиненко, Е. И.; Астионенко, И. А.У роботі розглядаються лінійчаті поверхні (коноїди), в яких використовуються криві Ерміта-Кунса в якості напрямних. Знайдено неполіноміальні аналоги поліномів Ерміта-Кунса третього порядку. Побудовано формули поверхонь для двох варіантів квадратних носіїв: (0 ≤ x, y ≤ 1; -1 ≤ x, y ≤ 1). Когнітивно-графічний аналіз і тестування поверхонь доводить, що переважна більшість властивостей коноїда успадкована від класичної функції-«пагоди». Маючи багато спільних властивостей, ці поверхні відрізняються гауссовою кривиною. У «пагоди» кривина від’ємна, а у коноїда – нульова.Документ Кусково-планарне моделювання базисів мішаних серендипових елементів(2020) Хомченко, А. Н.; Тендітна, Н. В.; Литвиненко, О. І.; Дудченко, О. М.; Астіоненко, І. О.; Khomchenko, А. N.; Tenditna, N. V.; Lytvynenko, O. I.; Dudchenko, О. N.; Astionenko, I. O.Перші моделі серендипових скінченних елементів мали однакову кількість граничних вузлів у напрямках Ox і Oy. Найбільше розповсюдження у практичних розрахунках набули елементи Q8 (біквадратична інтерполяція) та Q12 (бікубічна інтерполяція). Ці елементи цілком придатні і зручні для задач відновлення функцій в ізотропному середовищі. Для задач в ортотропному середовищі потрібні мішані моделі серендипових елементів. Як приклад мішаної моделі ми аналізуємо серендипів елемент Q10 (квадратично-кубічна інтерполяція). У напрямку осі Ох функція змінюється за законом кубічної параболи, а вздовж осі Оу – за законом квадратичної параболи. У роботі розглядаються класичні та нетрадиційні методи конструювання базисів мішаного скінченного елемента Q10, який складається із елементів: Q8 і Q12 . Як і передбачалося, класичні підходи (метод оберненої матриці і нематричний метод Тейлора) показали, що мішана модель Q10 успадковує недоліки «інгредієнтів» Q8 і Q12. Мова йде про фізичну неадекватність спектрів еквівалентних вузлових навантажень від одиничної масової сили. Стандартна модель Q10 має від’ємні навантаження у кутових вузлах носія. Це неприродне явище «гравітаційного відштовхування» назвали парадоксом Зенкевича, який у 1971 році вперше звернув увагу на небажану особливість стандартних серендипових СЕ. На думку Зенкевича, цей недолік усунути неможливо, треба змиритися. У роботі показано, що альтернативи існують. Для побудови математично обґрунтованих і фізично адекватних базисів елемента Q10 пропонується простий і наочний метод геометричного моделювання. Алгоритм використовує лише фрагменти площин. Портрети ліній нульового рівня містять лише відрізки прямих. Побудова починається саме з таких портретів. Лишається виконати процедуру Уачспресса – product of planes. Портрети ліній нульового рівня суттєво спрощують когнітивно-графічний аналіз рельєфу базисних поверхонь. Автори свідомо сконструювали додатково дві несумісні моделі елемента Q10, які успішно витримали кускове тестування.Документ Метод інтерпретацій та квадратури Гаусса(2019) Хомченко, А. Н.; Бардачов, Ю. М.; Литвиненко, О. І.; Астіоненко, І. О.; Khomchenko, А. N.; Bardachov, Yu. M.; Lytvynenko, O. I.; Astionenko, I. O.; Хомченко, А. Н.; Бардачев, Ю. Н.; Литвиненко, Е. И.; Астионенко, И. А.Будь-яка математична модель насправді є інтерпретацією природного, технологічного, розумового процесу математичною мовою. В наукових дослідженнях метод інтерпретацій зустрічається на кожному кроці. Достатньо нагадати про теорію графів, аналітичну геометрію, диференціальні рівняння, перетворення Лапласа, швидке перетворення Фур’є, теорію кодування тощо. В методі інтерпретацій, як правило, задача однієї області математики інтерпретується в іншій області, де вона або спрощується, або більше відповідає нашій інтуїції, або дозволяє використання інших підходів і т. і. Ми звернули увагу на квадратури Гаусса не тільки тому, що саме вони використовуються в сучасних стандартних програмах інтегрування. Ми переконалися, що в квадратурах Гаусса є певний дидактичний потенціал, який може бути корисним для тих, хто вчиться і навчає математичному моделюванню. У роботі розглядається проста квадратурна формула Гаусса (два вузли інтегрування). Наведено приклади задач, в яких існує латентний зв’язок із квадратурою Гаусса. Ці задачі – своєрідна комбінація простоти і нетривіальності, в якій читач може знайти щось цікаве на свій смак. Природно, що кожна задача формулюється на двох «канонічних» інтервалах: [-1, 1] і [0, 1], щоб охопити дві версії квадратури: Гаусса-Лежандра і Гаусса-Бернуллі.Документ Тригонометричні субститут-базиси скінченного елемента Q8(2020) Хомченко, А. Н.; Литвиненко, О. І.; Астіоненко, І. О.; Khomchenko, А. N.; Lytvynenko, O. I.; Astionenko, I. O.; Хомченко, А. Н.; Литвиненко, Е. И.; Астионенко, И. А.У роботі наведено приклади нових моделей тригонометричних базисів, які поставлено на заміну (substitute) поліноміальним базисам (стандартному та альтернативним) популярного елемента Q8. На перших етапах розвитку метода скінченних елементів (МСЕ) вважалось, що головна перевага методу – поліноміальна інтерполяція. Поліноми Лагранжа у ролі базисів та алгебраїчний трикутник Паскаля забезпечили стрімке поширення МСЕ і зростання його популярності. Розвиток комп’ютерних технологій систематично і впевнено змінює ставлення зацікавлених фахівців до задач конструювання базисних функцій. Сьогодні розробники пакетів прикладних програм все частіше звертають увагу на раціональні функції і навіть функції більш загальних класів. Оригінальні базиси скінченних елементів на основі тригонометричних функцій ілюструють «м’яке» математичне моделювання (за терміном В. Арнольда). У конструктивній теорії серендипових апроксимацій тригонометричні функції ще не використовували. Скінченний елемент Q8 широко розповсюджений в МСЕ і успішно працює в ансамблі з трикутним елементом Т6 і квадратом Q9. Специфіка тригонометричних функцій змушує відмовитись від традиційного методу оберненої матриці. Для «проміжних» локальних функцій Q8 ми використовуємо коноїди Каталана, а «кутові» функції конструюємо нематричним методом Р. Тейлора. Відсутність прикладів тригонометричного моделювання базисних функцій гальмує розвиток цього напрямку досліджень. Добре відома лише одна функція базису Q9 – «дута» мода О. Зенкевича (1971 р.), яку він сконструював із фрагментів функції косинус. В роботі запропоновані «рецепти» усунення фізичної неадекватності спектра вузлових навантажень («парадокс» Зенкевича). Отримані результати і конкретні приклади підтверджують думку, що фінітні інтерполяційні функції можуть бути неполіноміальними. Застосування тригонометричних функцій відкриває нові можливості для усунення від’ємних вузлових навантажень.Документ Фізично адекватна конденсація і мішані моделі серендипових елементів(2019) Хомченко, А. Н.; Литвиненко, О. І.; Астіоненко, І. О.; Khomchenko, А. N.; Litvinenko, О. I.; Astionenko, I. O.; Хомченко, А. Н.; Литвиненко, Е. И.; Астионенко, И. А.У роботі розглядається серендипова версія квадратично-кубічної інтерполяції на канонічному квадраті (|x| ≤ 1, |y| ≤ 1). У напрямку вісі 0x функція змінюється за законом кубічної параболи, у напрямку 0y – за законом квадратичної параболи. Лагранжевий прообраз такого елемента має 12 вузлів (два внутрішніх). Як відомо, небажані внутрішні вузли виключають, щоб отримати серендипову модель. Традиційна процедура конденсації (редукції) полягає у складанні і розв’язуванні СЛАР з матрицею 12×12. Далі, щоб усунути внутрішні вузли, треба знайти «рецепт» конденсації, тобто побудувати лінійну залежність внутрішніх параметрів (два) від граничних (десять). Відомі приклади свідчать, що математично обґрунтований «рецепт» конденсації не гарантує фізичної адекватності спектра вузлових навантажень серендипових моделей. Так було з біквадратичним елементом («рецепт» Джордана, 1970) і трикутником третього порядку («рецепт» Сьярле-Равьяра, 1972). Щоб уникнути аномалій в спектрі вузлових навантажень, треба починати з побудови бажаного спектра. Це обернена задача, коли спочатку вибирають бажані інтегральні характеристики, а після цього визначають базис, який реалізує ці характеристики. Саме такий «нематричний» підхід запропоновано в роботі. Важлива властивість нематричної редукції полягає в тому, що вона виключає внутрішні вузли, але зберігає внутрішні параметри. Наявність «прихованих» параметрів дозволяє керувати формоутворенням альтернативних серендипових поверхонь.